यदि sum_{r=1}^{n}r^3 - sum_{p=1}^{n} sum_{m=1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) हम जानते हैं कि $\sum_{r=1}^{n} r^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$.अब,त्रिपल योगफल पर विचार करें: $\sum_{p=1}^{n} \sum_{m=1}^{p} \sum_{r=1}^

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(B) हम जानते हैं कि $\sum_{r=1}^{n} r^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$.अब,त्रिपल योगफल पर विचार करें: $\sum_{p=1}^{n} \sum_{m=1}^{p} \sum_{r=1}^{m} 1 = \sum_{p=1}^{n} \sum_{m=1}^{p} m = \sum_{p=1}^{n} \frac{p(p+1)}{2} = \frac{1}{2} \left[ \sum_{p=1}^{n} p^2 + \sum_{p=1}^{n} p \right]$.मानक योगफल सूत्रों का उपयोग करते हुए: $\sum_{p=1}^{n} p^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{p=1}^{n} p = \frac{n(n+1)}{2}$.अतः,त्रिपल योगफल $\frac{1}{2} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right] = \frac{n(n+1)}{4} \left[ \frac{2n+1}{3} + 1 \right] = \frac{n(n+1)}{4} \left[ \frac{2n+4}{3} \right] = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ है।इस प्रकार,समीकरण बनता है: $\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{6} = 80$.यदि $n=4$ रखें: $\left[ \frac{4(5)}{2} \right]^2 - \frac{4(5)(6)}{6} = 10^2 - 20 = 100 - 20 = 80$.अतः,$n=4$ सही मान है।

यदि $\sum_{r=1}^{n}r^3 - \sum_{p=1}^{n} \sum_{m=1}^{p} \sum_{r=1}^{m} 1 = 80$ है,तो $n$ का संभावित मान क्या है?

Similar Questions

यदि $a, b, c \in \mathbb{R}^+$ इस प्रकार हैं कि $2a, b, 4c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं और $c, a, b$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं,तो:

यदि एक $H.P.$ (हरात्मक श्रेणी) का ${5^{th}}$ पद $\frac{1}{45}$ है और ${11^{th}}$ पद $\frac{1}{69}$ है,तो इसका ${16^{th}}$ पद क्या होगा?

यदि $x, y, z$ तीन धनात्मक संख्याएँ $G.P.$ में हैं,तो $\frac{1 + \ln x}{2}, \frac{1 + \ln y}{4}, \frac{1 + \ln z}{8}$ किसमें हैं?

यदि $3 + \frac{1}{4} (3 + d) + \frac{1}{4^2} (3 + 2d) + \dots \infty = 8$ है,तो $d$ का मान ज्ञात कीजिए:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module